Réponses aux questions d’approfondissement

jeudi 19 mars 2015
par Malika More (webmestre)

1. Introduction

Question d’approfondissement (calcul) : Si le débit descendant de ma connexion internet est de 1Mo/s, et si je télécharge pendant 3 minutes avec un taux d’erreur de 1 pour un million, combien y-a-t-il de bits erronés ?

À noter : 1 octet est composé de 8 bits, et le préfixe "méga" signifie "million"

Réponse : $1\ 000\ 000\times8\times180\div1\ 000\ 000 = 1440$ bits erronés sur un total de $1\ 000\ 000\times8\times180 = 14\ 400\ 000\ 000$ bits transmis

2. Code de double parité

Question d’approfondissement : Dans la vidéo du chapitre 2, les mots "codage", "décodage" et "bits de contrôle", introduits dans le chapitre 1, n’ont volontairement pas été utilisés. À quoi correspondent-ils dans le cas du code de double parité ?

Réponse : Le codage est l’opération qui consiste à ajouter une ligne et une colonne supplémentaires. Le décodage est l’opération inverse de suppression de cette ligne et de cette colonne. Les bits de contrôle sont les bits de parité qui les remplissent.

3. Codage par blocs

Question d’approfondissement 1 : Calculer m, r et n pour le code de double parité. Les calculs sont demandés pour un pavé de données initiales de 5x5. Attention, pour répondre à cette question, il est préférable de passer par la présentation sous forme de séquences de bits.

Réponse : m=25, r= 11 et n=36

Question d’approfondissement 2 (calcul) : Calculer le nombre de mots d’information, le nombre de mots de code et le nombre de messages reçus possibles pour le code de double parité.

Réponse : le nombre de mots d’information et le nombre de mots de code sont tous les deux égaux à $2^{25}=33\ 554\ 432$ . Le nombre de messages reçus possibles est $2^{36}=68\ 719\ 476\ 736$ .

4. Principe de la détection et de la correction des erreurs

Question d’approfondissement : Pourquoi avoir choisi d’illustrer le chapitre 3 avec une image d’Alice et le chapitre 4 avec une image de Bob ?

Réponse : Parce-que le codage, sujet du chapitre 3, se passe chez l’expéditeur (Alice), tandis que la détection et la correction, sujets du chapitre 3, se passent chez le destinataire (Bob).

5. Code par répétition

Question d’approfondissement 1 : Que se passe-t-il pour la longueur de la transmission si on utilise le code par répétition ?

Réponse : Le message émis est trois fois plus long que les données initiales.

Question d’approfondissement 2 : Considérons la variante du code par répétition dans laquelle 0 est codé par 00000 et 1 est codé par 11111. Comment se déroulent dans ce cas la détection et la correction des erreurs ?

Réponse : Tous les messages comportant de 1 à 4 erreurs sont détectés, ceux comportant 5 erreurs ne le sont pas. Tous les messages comportant 1 ou 2 erreurs sont correctement corrigés, ceux comportant 3 ou 4 erreurs ne le sont pas. La longueur de la transmission est multipliée par cinq.

Question d’approfondissement 3 : Que se passe-t-il pour les messages comportant deux erreurs dans la variante du code par répétition dans laquelle 0 est codé par 0000 et 1 est codé par 1111 ?

Réponse : Les messages comportant deux erreurs sont bien détectés, mais il y a ambiguité pour la correction, puisqu’en corrigeant 2 bits dans un sens ou dans l’autre, on peut obtenir l’un ou l’autre mot de code. Par exemple, si le message émis est 1111, et le message reçu est 1001, une anomalie est bien détectée. Pour la correction, on peut obtenir 1111 en corrigeant les bits 2 et 3, ou bien obtenir 0000 en corrigeant les bits 1 et 4. Les deux possibilités sont aussi probables l’une que l’autre, et la règle de correction (choisir le mot de code nécessitant de modifier le moins de bits possible) est mise en échec dans ce cas. La convention généralement adoptée est de ne pas corriger le message reçu, pour ne pas risquer d’introduire plus d’erreurs. En général, le système se contente de notifier que le message reçu contient une anomalie.

6. Comment comparer les différents codes ?

Question d’approfondissement : Calculer la redondance et le rendement du code de double parité.

Réponse : La redondance est le nombre de bits de contrôle, soit ici 11 (une ligne de 5, une colonne de 5 et le 36e bit). Le rendement est 25/36, soit 0,69 (le rapport du nombre de bits des données initiales, soit 25, sur le nombre de bits total, soit 25+11=36).

7. Quelles sont les limites des codes détecteurs et correcteurs d’erreurs ?

Question d’approfondissement : À quelle situation de la vidéo numéro 4 se rattachent :
a. Le message comportant 4 erreurs étudié dans la vidéo numéro 7 ?
b. Le message comportant 3 erreurs étudié dans la vidéo numéro 7 ?

Réponse :
a. Le message comportant 4 erreurs correspond à la situation où l’ensemble des erreurs pendant la transmission a transformé le message émis en un mot de code différent.
b. Le message comportant 4 erreurs correspond à la situation où l’ensemble des erreurs pendant la transmission a donné un message reçu plus éloigné du message émis que d’un autre mot de code.

Question bonus : Que peut-on dire des messages comportant 2 erreurs étudiés dans la vidéo numéro 7 ?

Réponse : Il s’agit d’une situation qui n’est pas évoquée dans la vidéo numéro 4. L’ensemble des erreurs pendant la transmission a donné un message reçu qui se trouve à égale "distance" de plusieurs mots de code. Pour corriger en modifiant le plus petit nombre de bits possible, il est impossible de choisir entre ces diverses possibilités.

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