Proposition de ressources de cours par chapitres et paragraphes du programme de l’agrégation interne de mathématiques
Cette page a été réalisée en collaboration entre l’IREM et le département de mathématiques et informatique de l’UFR sciences et technologies par Jean Marie Lescure et Alex Esbelin.
Elle vise à fournir un CHOIX de documents permettant d’avoir des informations complètes et précises sur chacun des points au programme du concours de l’agrégation interne. Nous espérons ainsi éviter aux candidats le long travail de tri de ressources. Les choix faits dépendent des gouts des réalisateurs de la page. Ceux-ci certifient dans tous les cas la qualité mathématiques des documents cités.
La numérotation est celle du BO.
- Ensembles
Vocabulaire de la théorie des ensembles (sauf relation d’ordre) ; Cours avec exercices
Ensemble N ... non dénombrabilité de R
Relations d’équivalence, ensembles quotients, - Algorithmique et informatique
- Algèbre générale
Arithmétique dans Z . Exercices sous une formulation agréable ; cours et exercices très adaptés au concours.
Anneaux et corps. Cours dont une partie des preuves est laissée en exercices ; cours et exercices peut-être un peu au dessus du concours.
Polynomes à une indéterminée sur un corps commutatif,
Fractions rationnelles sur un corps commutatif. Cours contenant de bons exercices.
- Groupes et géométrie. Cours et exercices , couvrant le début du chapitre jusqu’à« groupe quotient ». Autre liste d’exercices
- Algèbre linéaire sur un sous-corps de C. Cours contenant des exercices pour tout le chapitre
Espaces vectoriels
Espaces vectoriels de dimension finie
Matrices
Opérations élémentaires sur les matrices
Déterminants
Dualité
Réduction des endomorphismes
cas ou le corps est R ou C
Formes quadratiques
- Géométrie affine en dimension finie. Cours et exercices : de bonne qualité mais pas assez approfondi à notre avis .... en attendant mieux.
- Algèbre linéaire euclidienne et hermitienne
Espaces euclidiens. Cours et exercices ; autres exercices (et un bon cours aussi) ; les deux liens réunis ne donnent malheureusement pas une courverture complète de ce paragraphe du programme.
Angles
Calcul matriciel et normes euclidiennes
Calculs vectoriels en dimension 3
Espaces hermitiens
- Géométrie affine euclidienne orientée.
Généralités
Géométrie plane . Cours et exercices couvrant la partie sur l’utilisation des nombres complexes.
Coniques. Nous proposons en premier choix ce cours qui couvre assez bien les trois paragraphes de ce chapitre et contient quelques exercices ; cours et exercices où manque le point « image par une application affine » et toute la fin du paragraphe à partir de « section plane ... ». Ce qui est fait est bien fait, voire un peu trop détaillé
- Propriétés affines et métriques.
- Analyse à une variable réelle
Nombres réels et complexes (inclut les suites)
Corps des réels, borne supérieure ; Cours et exercices
Corps des nombres complexes : Cours et exercices
Quelques inégalités classiques (et utiles). Cours et exercices
Suites réelles ou complexes (sauf relations prépondérance, domination, relations de récurrence u_n+1=f(u_n)). Cours et exercices
Développement décimal. Cours et exercices
Développement décimal et non dénombrabilité de R . Cours et exercices
Droite numérique achevée, relations de prépondérance, domination, relations de récurrence u_n+1=f(u_n) .
Séries de nombres réels et complexes. Cours et exercices
Continuité. Cours et exercices pour la dernière partie du paragraphe, à partir de « Approximation uniforme des fonctions ... »
Dérivabilité.
Fonctions usuelles
Intégration d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Cours et exercices (voir chapitre 1)
Intégrales sur un segment d’une fonction dépendant d’un paramètre.
Intégration sur un intervalle quelconque. Cours et exercices (voir chapitre 3)
Intégrales impropres. Cours et exercices (voir chapitre 2)
Intégrales sur un intervalle quelconque d’une fonction dépendant d’un paramètre. Cours et exercices (voir chapitre 3)
Analyse numérique ; Cours et exercices pour le sous paragraphe commençant par « approximation d’un nombre par des suites ... »
Approximation d’une solution d’équation f(x)=0 ; pour les valeurs approchées d’une intégrale, Cours et exercices et comme second choix, Cours et exercices (voir chapitre 5)
Asymptotiques du reste d’une série convergente ;
Solutions approchées d’une équation différentielles ;
- Analyse à une variable complexe. ; Cours et exercices pour tous les paragraphes sauf les deux derniers.
Séries entières. Cours et exercices
Extension à C des fonctions usuelles. Cours et exercices
- Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie.
Topologie et espaces métriques. Notes de cours succintes
Espaces vectoriels normés sur R ou C
Espaces métriques compacts
Espaces métriques connexes
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Espaces métriques complets
Espaces de Banach ; Cours et exercices pour le sous paragraphe commençant par « Suite d’applications à valeurs dans un espace de Banach ». Le document qui suit traite de le cas scalaire, mais comme le cas banachique est essentiellement identique ....
Espaces préhilbertiens ; Cours et exercices
Séries de Fourier
- Calcul différentiel.
Topologie de R^n
Fonctions différentiables
Equations différentielles
- Calcul intégral et probabilités
Intégrales multiples
Modélisation d’une expérience aléatoire ; Cours et exercices (voir chapitre 6)
Espace probabilisé ; Cours et exercices (voir chapitre 6)
Variables aléatoires réelles
Pour les variables à densité, Cours et exercices (voir chapitre 7)
Pour les variables discrètes ;
Vecteurs aléatoires
Pour les vecteurs à densité, Cours et exercices (voir chapitre 8)
Pour les vecteurs aléatoires discrets
Théorèmes limites ; Cours et exercices (voir chapitres 9 et 10)
- Géométrie différentielle
Courbes paramétrées en dimension 2 et 3, Cours
Propriétés métriques des courbes
Cinématique