Mathématiques

mardi 26 juin 2018
par  Emmanuelle BOYER, Hugues Amalric

Entrée vers les dossiers de fichiers par le côté mathématique du projet

Le projet « AstroDuclaux 2017-2018 : Destination Saturne avec les Cassini » s’intègre dans le cours de mathématiques de la classe de seconde et l’accompagne, ainsi que le montrent les nombreuses parties surlignées en jaune du programme (voir lien vers la version aménagée pour l’année 2017) . De plus, les énoncés des objectifs du programme (qui donnent une cohérence à l’ensemble des programmes des disciplines) laissent une large place à l’exploration de la place des mathématiques dans l’enseignement, l’orientation et l’ouverture du futur citoyen. Cette année, le projet change de statut, en se plaçant résolument sur le créneau de l’enseignement d’exploration MPS, la plage de l’AP (Accompagnement Personnalisé), utilisée les années précédentes, ayant été privilégiée pour accompagner les élèves issus de classes de troisième suite aux nouveaux programmes de mathématiques de collège. Le projet s’insère dans la poursuite du travail entrepris en collège sur les EPI.

La progression du cours en début d’année est choisie pour donner aux élèves les clés mathématiques pour entrer dans le projet (l’accent est mis sur la géométrie et l’utilisation des connaissances de collège). Mais inversement, l’exploration du sujet autour de Saturne et de la cartographie des Cassini est utilisé autant pour l’introduction des chapitres que pour des applications du cours à des problèmes concrets. (voir lien vers la chronologie du projet)

1) Un gros travail en début d’année sur la géométrie plane et la proportionnalité.

Objectif : Rassurer les élèves en montrant que leurs acquis de collège leur permettront de comprendre des phénomènes liés à l’astronomie tant issus du cours de mathématiques que des autres disciplines.

  • Des exemples du cours :

Angles de vision (voir lien), montagnes de la Lune (voir lien), pour des révisions sur Pythagore, la trigonométrie, la proportionnalité et les tangentes à un cercle (remis dans le programme 2017-2018). Ces notions seront réinvesties lors du TP sur la vision (voir lien) ( math / physique / français ) à l’occasion de l’étude de la nouvelle d’Arthur Clarke « Saturne Levant » .

  • Utilisation du logiciel GeoGebra2D :

Simulation des trajectoires des planètes (voir lien). Utilisation d’un curseur et manipulation d’une formule avec des lettres (proportionnalité et mise en place d’une image mentale sur les notions de fonctions linéaires et affines). Ce TP servira aussi à l’introduction du chapitre sur la géométrie repérée avec la mise en parallèle de la fenêtre « algèbre » du logiciel GeoGebra « qui n’utilise pas la règle et le compas pour faire des constructions mais des calculs numériques pour réaliser les constructions ! ».

  • Travail sur la triangulation (math / HG) :

À l’occasion de l’étude des documents historiques sur l’élaboration des cartes de Cassini, manipulation de la formule des sinus et retour sur la précision des instruments de mesure et conversion des unités ( ° ‘ ‘’ ) : TD sur la triangulation de l’abbé Picard (voir lien) et la mesure de la méridienne + questionnaire sur le documentaire sur les cartes de Cassini (Math / HG) (voir lien) + questionnaire sur la sortie en extérieur à Saint Jean Done (voir lien) : la triangulation autour d’Aurillac + retour sur la notion de triangles semblables, de repérage et d’échelle des cartes.

sortie à Saint Jean de Dône, localisation des signaux de Cassini
  • Le travail sur la proportionnalité est un enjeu pour l’application des mathématiques aux formules de physique et la mise en relation de données mais aussi pour la clarification des expressions orales de comparaison de grandeurs.C’est un point essentiel qui guide notre réflexion interdisciplinaire math / physique :
    • À l’occasion du visionnage du documentaire sur Saturne (questionnaire : voir lien) : comparaison des distances au Soleil, des diamètres, surfaces et volumes entre Saturne et la Terre + étude de la phrase souvent répétée par les interviewés sur la comparaison de l’épaisseur des anneaux de Saturne par rapport à une feuille de papier (c’est clairement une phrase compliquée mais issue d’un « langage illustratif courant »).
    • Le TP physique / SVT sur le rayonnement et la température (voir lien) : La partie introductive sur la formule et la proportionnalité a été maintes fois discutée et remaniée avec le professeur de physique. Cet exemple concret a servi d’exemple introductif pour le chapitre de mathématiques sur les fonctions en explicitant la notion de variable et celle de formule algébrique à l’aide de l’ajustement des données. L’objectif est d’expliciter les concepts mathématiques utilisés dans le TP en les reliant au cours de mathématiques et de revisiter le vocabulaire de collège. L’origine de ce TP vient de notre collègue de SVT qui nous a dit « j’ai trouvée cette formule super : inversement proportionnelle au carré … », pour elle c’est de la simple proportionnalité … pour nous, une falaise inaccessible aux élèves ! On a essayé de les faire grimper !
    • La proportionnalité est la base des calculs de distances entre les villes sur le globe terrestre (voir lien)
    • La proportionnalité et le travail sur les formules se retrouvent dans les thèmes de recherches de la phase 2 (après Noël)
      • Thème 1 « Autour des images de Saturne » : vitesse relative entre Saturne et ses satellites. (voir lien)
      • Thème 2 « Aspect des anneaux de Saturne avec Huygens » : animation de la figure GeoGebra + conversion des angles et des dates. (voir lien)
      • Thème 3 « L’aventure cartographique, des Cassini aux SIG » : calculs de distances entre les sites d’alunissage des missions Apollo situés près de l’équateur de la Lune. (voir lien)
      • Thème 5 « Naviguer sur les anneaux de Saturne » : travail sur la proportionnalité dans les formules de physique (éléments clés de l’étude). (voir lien)
      • Thème 7 « Des astres actifs dans le système solaire » : travail sur la propagation des ondes sismiques de surface. (voir lien)
      • Thème 8 « Encelade, un des satellites de Saturne » : animation de la figure GeoGebra pour faire tourner les satellites autour de Saturne. (voir lien)

2) Travail sur la géométrie dans l’espace avec la possibilité nouvelle d’utiliser le logiciel GeoGebra3D. C’est la base mathématique de beaucoup des thèmes de recherche de la phase 2

  • Repérage sur la sphère (math / HG / SVT), de nouveau au programme de mathématiques en seconde :
    • Coordonnées terrestres et calculs de distances sur le globe : TP sur le repérage et l’utilisation de GeoGebra 3D (voir lien) + lien vers fichiers GeoGebra3D zippés (voir lien) + travail sur la triangulation (voir ci-dessus).
    • Repérage sur la voute céleste : séance planétarium (voir lien) + cherche étoiles en carton et logiciels de repérage du ciel pour les sorties nocturnes (GoogleSky et Stellarium).
    • Réinvestissement dans les thèmes :
      • Thème 2 « Aspect des anneaux de Saturne avec Huygens » : repérage dans le système solaire (utilisation des éphémérides). (voir lien)
      • Thème 3 « L’aventure cartographique, des Cassini aux SIG » : ajouts sur le repérage sur la Lune et sur les satellites en particulier Titan, origine des longitudes (voir lien)
      • Thème 7 « Des astres actifs dans le système solaire » : ondes sismiques : localisation d’un séisme sur Terre et sur Mars. (voir lien)
  • Travail sur la position relative des plans (et des sphères). Intersections.
    • Définition des coordonnées sphériques par intersection de plans + Plan de l’écliptique, inclinaison des plans équatoriaux,… utilisation de GeoGebra3D.
    • Réinvestissement dans les sorties d’observation et dans les thèmes de recherche :
      • Thème 2 « Aspect des anneaux de Saturne avec Huygens » : inclinaison des anneaux et vues depuis la Terre (correspondances avec le graphique). (voir lien)
      • Thème 3 « L’aventure cartographique, des Cassini aux SIG » : utilisation de différentes projections. (voir lien)
      • Thème 5 « Naviguer sur les anneaux de Saturne » : projection des vitesses dans le plan de l’écliptique (voir lien)
      • Thème 6 « Voyage de la sonde Cassini » : orbites de la sonde (fait par le professeur de physique) (voir lien)
      • Thème 7 « Des astres actifs dans le système solaire » : coupes de la Terre, utilisation de GeoGebra3D. (voir lien)
  • Changement de repères/référentiels (travail commun math / physique encadré par le professeur de mathématiques) :
    • Problématique mise en évidence sur la séance planétarium (voir lien) et sur la séance d’explication des phases de la Lune. (voir lien)
    • Travail sur les trajectoires des planètes vues du dehors du plan du système solaire et vues de l’intérieur de ce plan (voir lien) : difficultés d’interprétation des trajectoires vues depuis la Terre et histoire de leur découverte.
    • Ce problème est réétudié dans plusieurs thèmes :
      • Thème 1 « Autour des images de Saturne » : explication des visions de Saturne ou des satellites à l’analogue de la Terre et la Lune à l’aide de schémas des images des ombres de Saturne.(voir lien)
      • Thème 2 « Aspect des anneaux de Saturne avec Huygens » : (voir lien)
      • Thème 3 « L’aventure cartographique, des Cassini aux SIG » : vu de la Terre / vu de l’espace (voir lien)
      • Thème 8 « Encelade, un des satellites de Saturne » : trajectoires des satellites + vues depuis de la Terre et texte historique de la découverte par J-D. Cassini. (voir lien)
  • Utilisation du logiciel GeoGebra3D. Les élèves utilisent les logiciels GoogleEarth en géographie pour la localisation et Stellarium en physique pour vérifier et/ou comprendre des propriétés physiques (rétrogradation de Mars par exemple). Mon idée est de reconstruire (donc de comprendre) ce qui est donné par ces logiciels en vision directe. On retrouve l’idée du calcul derrière l’utilisation de ces « boites noires » (même si le logiciel GeoGebra est lui-même une « boîte noire », il peut être considéré comme outil pour une étape de compréhension).

3) Illustration ponctuelle du cours de mathématiques se rattachant au projet :

  • Actualités liées à l’astronomie dans des articles de magazines de vulgarisation ou autres :
    Pistes de réflexion sur l’approximation des mesures et des calculs (amélioration de la précision des instruments, trajectoires, … ),
    Place des mathématiques dans les modèles astronomiques ( Jacques Laskar ancien parrain recherche de nouvelles planètes )
    TP sur les télescopes paraboliques http://www.irem.univ-bpclermont.fr/... ( application des fonctions de degré 2 ) : étude du grand télescope FAST chinois mis en activité en septembre 2016.
  • Éclairages historiques : Descartes et le cours de géométrie repérée (apport en physique), Huygens et la simulation par ordinateur d’un de ses problèmes de probabilités lié au thème 2 (travail sur des algorithmes et la programmation sur calculatrice et sur Python) (voir lien TP et voir lien fichier Python), Newton et les fonctions (les trajectoires + les fonctions en physique), controverses sur la forme de la Terre avec Cassini, etc.

4) Un bilan disciplinaire vu du versant mathématique :

  • Le projet accompagne le cours de mathématiques. D’une part, il sert d’introduction aux nouvelles notions ou de support pour des révisions de connaissances du collège. D’autre part, les notions plus compliquées abordées dans le projet de façon interdisciplinaire (donc non liées à priori au programme de mathématiques) ne peuvent être comprises sans un approfondissement réel des notions vues en classe (manipulation des équations et des formules algébriques, proportionnalité et ajustements, géométrie, etc.).
  • Mon travail se situe donc dans la recherche de situations mathématiques autour du thème (cette année Saturne) adaptées à des élèves de seconde guidés :
    • Il est en particulier nécessaire d’aplanir autant que possible les difficultés d’ordre mathématique pour des notions utilisées en tant qu’outils pour les autres disciplines (physique / SVT / HG / Français). Un gros travail d’exploration des autres disciplines et d’écoute des autres collègues est indispensable et c’est vraiment cet aspect créatif qui nous pousse et nous fait avancer. C’est pourquoi nous changeons le thème chaque année pour que cette aventure toujours nouvelle soit partagée entre enseignants mais aussi avec les élèves.
      Ainsi, la progression du cours de mathématiques est retravaillée chaque année. Cette année, l’accent est mis en début d’année sur la géométrie 2D et 3D mais la maîtrise des fonctions a fait défaut au collègue de physique pour le TP sur les ajustements.
      En 2015-2016, l’exploitation du film « Seul sur Mars », dans lequel la rotation du vaisseau est utilisée pour compenser la gravité, avait demandé de faire le chapitre sur les radians en début d’année.
      En 2014-2015, le travail sur l’algorithmique avait été fait très tôt pour pouvoir exploiter le documentaire sur la machine d’Anticythère et le calcul des éclipses.
    • Il est aussi important de situer les découvertes astronomiques dans la chronologie des avancées mathématiques. Présenter des repères historiques dans les différents chapitres du cours de mathématiques permet de renforcer les liens établis par le projet interdisciplinaire et de lui donner du sens.
  • Les TD des premières années ont été réutilisés, améliorés ou aménagés pour le nouveau sujet de cette année même si la partie création reste la plus importante. Les TDs de la phase 1 sont les plus réutilisés.

Documents joints

PDF - 591.8 ko
PDF - 591.8 ko
F001PH1ACTUSeances1et2LeGallSondeCassini
F001PH1ACTUSeances1et2LeGallSondeCassini
F011PH1CASSCassiniQuestionsDocuHGmath
F011PH1CASSCassiniQuestionsDocuHGmath
F012PH1CASSPicardTriangulationMathCorrige
F012PH1CASSPicardTriangulationMathCorrige
F013PH1CASSSeancePlanetarium
F013PH1CASSSeancePlanetarium
F025PH1DONESortieMathTriangulation
F025PH1DONESortieMathTriangulation
F040PH1TRAJPlanetesGeogebraMath2017
F040PH1TRAJPlanetesGeogebraMath2017
PDF - 785.4 ko
PDF - 785.4 ko
F050PH1TITARayonnementSVTPCMaths
F050PH1TITARayonnementSVTPCMaths
F060PH1SFClarkeMathPhyVision
F060PH1SFClarkeMathPhyVision
F101COUMATGeometriePlane
F101COUMATGeometriePlane
F102COUMATGalileeMontagnesLune
F102COUMATGalileeMontagnesLune
F103COUMATAlgoProbaHuygens
F103COUMATAlgoProbaHuygens
F105COUMATGeogebra3DGlobeDistance
F105COUMATGeogebra3DGlobeDistance
F106COUMATFichiersGeogebraGlobe
F106COUMATFichiersGeogebraGlobe
F711PH2Th2SaturneAspectAnneau
F711PH2Th2SaturneAspectAnneau
F713PH2Th7SismoMars
F713PH2Th7SismoMars
F712PH2Th8SaturneSatellitesEleve
F712PH2Th8SaturneSatellitesEleve
F714PH2Th7SismoTerre1eleve
F714PH2Th7SismoTerre1eleve
F715PH2Th7SismoTerre2
F715PH2Th7SismoTerre2
F104COUMATHuygensSimulPython
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